VIC-задачи: алгебраический подход

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

В предыдущем разделе мы говорили, что задачи типа VIC (Variables In the Answer Choices) можно решать:

• либо алгебраически,

   

• либо методом подстановки чисел.

   

В этом разделе мы подробно разбираем алгебраический подход, а в следующем — подстановку чисел.

Важное уточнение про алгебру

Алгебраический подход не означает, что вы обязаны мыслить исключительно буквами и абстракциями.

На практике:

• временно подставлять конкретные числа, чтобы понять смысл выражения, — абсолютно нормально;

   

• числовая интуиция часто помогает понять, какая алгебра здесь уместна.

   

Пример

Пусть:

• есть H молотков;

   

• каждый весит Q фунтов.

   

Общий вес:

• если Q = 5 и H = 8, то вес = 40;

   

• значит, в общем виде: Q · H.

   

Мы использовали числа, чтобы понять алгебру — и это правильный подход.

Ключевая трудность алгебры в VIC-задачах

Очень важный момент:

Одно и то же алгебраическое выражение можно корректно записать несколькими способами.

Следствие:

• вы можете всё решить на 100% правильно,

   

• но ваш ответ не совпадёт по форме ни с одним вариантом.

   

Это не означает ошибку.
Это означает, что выражение нужно привести к другой форме, чтобы оно совпало с вариантами ответа.

Особенно часто это происходит:

• с дробями,

   

• с выражениями, где можно вынести множитель,

   

• при делении числителя и знаменателя на одну и ту же величину.

   

Пример 1: средняя скорость второго участка

Условие:

• первый участок: A миль со скоростью p;

   

• второй участок: скорость меньше;

   

• весь путь занял T часов;

   

• средняя скорость за весь путь — V.

   

Найти среднюю скорость второго участка в терминах A, p, T и V.

Шаг 1. Первый участок

• расстояние: A

   

• скорость: p

   

• время: A / p

   

Шаг 2. Весь путь

• средняя скорость: V

   

• время: T

   

• общее расстояние: V · T

   

Шаг 3. Второй участок

• расстояние: V·T − A

   

• время: T − A/p

   

Средняя скорость второго участка:

(VT − A) / (T − A/p)

Проблема

Выражение алгебраически верно, но не совпадает ни с одним вариантом ответа.

Алгебраический приём: деление на T

Делим числитель и знаменатель на T:

Числитель:

(VT − A) / T = V − A/T

Знаменатель:

(T − A/p) / T = 1 − A/(pT)

Итог:

(V − A/T) / (1 − A/(pT))

Теперь выражение точно совпадает с вариантом ответа.

Вывод из примера

• даже при полностью корректном решении

   

• почти всегда нужно адаптировать форму выражения

   

• чтобы она совпала с тем, что написано в ответах.

   

Пример 2: средняя выручка от грузовиков

Условие:

• всего продано N транспортных средств;

   

• средняя выручка от продажи автомобиля — C;

   

• доля грузовиков — f;

   

• общая выручка — G.

   

Найти среднюю выручку от продажи одного грузовика.

Шаг 1. Количество машин

• грузовики: fN

   

• легковые автомобили: (1 − f)N

   

Шаг 2. Вводим переменную

Обозначим:

• T — средняя выручка от одного грузовика (то, что ищем).

   

Шаг 3. Общая выручка

• от автомобилей: (1 − f)NC

   

• от грузовиков: fNT

   

Суммарная выручка:

(1 − f)NC + fNT = G

Шаг 4. Решаем уравнение

Вычитаем вклад автомобилей и делим на fN:

T = (G − (1 − f)NC) / (fN)

Проблема

Форма не совпадает с вариантами ответа.

Шаг 5. Преобразуем выражение

Раскрываем скобки:

G − NC + fNC

Разбиваем на дроби:

G/(fN) − C/f + C

Это выражение совпадает с правильным вариантом ответа.

Итоговые выводы

• Алгебраический подход к VIC-задачам может быть очень эффективным.

   

• Допустимо:

   

  • временно подставлять числа,

     

  • чтобы понять смысл операций.

     

• Часто требуется:

   

  • переписать выражение,

     

  • разделить числитель и знаменатель,

     

  • вынести множитель,

     

  • упростить дробь.

     

• Совпадение по смыслу недостаточно — выражение должно совпасть по форме с вариантом ответа.

   

В следующем разделе мы разберём альтернативный путь — подстановку чисел — и покажем, когда он работает лучше, а когда нет.

Следующим мы изучим подстановку чисел в VIC задачах.