Свойства действительных чисел

Properties of Real Numbers (Свойства действительных чисел)

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Этот раздел начинает изучение Quant с самого нуля — с фундаментальных свойств чисел, на которых построена вся математика GMAT.
Если вы давно не занимались математикой, это идеальная точка входа. Если же базовые вещи вам знакомы, достаточно пробежаться по резюме и вернуться к деталям только при необходимости.

Ключевая рекомендация для подготовки к GMAT:

Не заставляйте себя изучать то, что вы уже уверенно знаете.
Гораздо важнее понимать себя, свой уровень и рационально распределять время.

Что означает слово «number» на GMAT

На GMAT слово number всегда означает действительное число (real number).

Действительные числа — это:

• все числа на числовой прямой;
• положительные, отрицательные и ноль;
• целые числа, дроби и десятичные;
• иррациональные числа (например, √7, π).

❗ Типичная ловушка GMAT
Когда в условии сказано:

x is a number

многие автоматически предполагают, что x — это 1, 2, 3, 4…

Это ошибка.

На самом деле x может быть:

• отрицательным,
• дробным,
• десятичным,
• равным нулю.

Числа, целые числа и положительные целые — не одно и то же

На GMAT эти множества строго различаются.

1. Numbers (числа)

Все действительные числа:

• −3, −½, 0, 2.7, 5, √7

2. Integers (целые числа)

Все целые положительные и отрицательные числа и ноль:

• … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …

3. Positive integers (положительные целые)

Обычные счётные числа:

• 1, 2, 3, 4, 5 …

Это три разные категории, и путаница между ними — частая причина ошибок.

Ноль — особое число

• 0 — единственное число, которое:
  • не является ни положительным,
  • ни отрицательным.

Это часто используется в ловушках, особенно в:

• неравенствах,
• задачах на знаки выражений,
• алгебре.

Базовые арифметические термины (обязательно знать)

Это реальная терминология, которая встречается в вопросах GMAT.

Операция	Результат
сложение	sum (сумма)
вычитание	difference (разность)
умножение	product (произведение)
деление	quotient (частное)

Эти слова нужно знать, их могут использовать прямо в условии.

Основные свойства действительных чисел

Названия свойств запоминать не нужно, но сами свойства — обязательно.

Далее пусть a, b, c — любые действительные числа.

1. Переместительное свойство (Commutative)

Сложение

a + b = b + a

Умножение

a × b = b × a

Не работает для:

• вычитания
• деления

Пример:

7 − 4 ≠ 4 − 7

Но если переписать вычитание как сложение отрицательного:

7 − 4 = 7 + (−4) = (−4) + 7

— тогда порядок можно менять.

2. Сочетательное свойство (Associative)

Позволяет группировать числа.

Сложение

(a + b) + c = a + (b + c)

Умножение

(a × b) × c = a × (b × c)

Не работает для:

• вычитания
• деления

3. Распределительное свойство (Distributive) — ОЧЕНЬ ВАЖНО

Умножение распределяется над сложением и вычитанием.

Над сложением

a(b + c) = ab + ac

Над вычитанием

a(b − c) = ab − ac

Это свойство:

• постоянно используется в GMAT,
• лежит в основе:
  • упрощения выражений,
  • факторизации,
  • алгебры.

Особые свойства чисел 1 и 0

Умножение и деление на 1

a × 1 = a

a ÷ 1 = a

Число не меняется.

Умножение на 0

a × 0 = 0

0 × a = 0

❗ Делить на 0 нельзя — никогда.

Свойство нулевого произведения (Zero Product Property)

Если произведение равно нулю:

a × b = 0

то:

a = 0  ИЛИ  b = 0

Слово OR (или) здесь критически важно.

Это свойство:

• ключевое в факторизации,
• постоянно используется при решении квадратных уравнений.

Деление числа на само себя

Для любого ненулевого числа:

a ÷ a = 1   (если a ≠ 0)

Краткое резюме (для учеников)

• number ≠ integer ≠ positive integer
• ноль — особое число
• знайте термины:
  • sum, difference, product, quotient
• понимайте (не заучивайте названия):
  • перестановку,
  • группировку,
  • распределение
• помните свойства:
  • 1 ничего не меняет
  • 0 обнуляет произведение
  • делить на 0 нельзя

Формулы и свойства — готовый блок для вставки

Можно использовать как шпаргалку:

a + b = b + a

a × b = b × a

(a + b) + c = a + (b + c)

(a × b) × c = a × (b × c)

a(b + c) = ab + ac

a(b − c) = ab − ac

a × 1 = a

a ÷ 1 = a

a × 0 = 0

a × b = 0  ⇒  a = 0 OR b = 0

a ÷ a = 1  (a ≠ 0)

Изучите также первую часть о  положительных и отрицательных числах. И вторую часть о них.