Взвешенные средние — часть II

Эта тема является частью раздела о статистике в Quant GMAT Focus.

В первой главе о взвешенных средних мы разобрали два базовых и универсальных метода:

1. Работа через суммы (сумма = количество × среднее)
   
   
2. Работа через пропорции / проценты (A1 × p1 + A2 × p2 + …)
   
   

Эти методы достаточны для решения любых задач GMAT.
То, что рассматривается ниже, — продвинутая техника, предназначенная для сильных студентов и визуальных мыслителей. Она не обязательна, но в отдельных задачах может существенно экономить время.

Если математика даётся тяжело — этот метод можно смело пропустить.

Идея продвинутого метода

Этот подход применим только тогда, когда есть ровно две группы.

Ключевая идея:

• общее среднее всегда лежит между средними двух групп;
  
  
• оно ближе к среднему той группы, которая больше по размеру;
  
  
• расстояния на числовой прямой находятся в обратной пропорции к размерам групп.
  
  

Именно это свойство позволяет решать задачи без вычисления сумм и самих средних.

Геометрическая интерпретация

Пусть:

• среднее группы 1 = A1
  
  
• среднее группы 2 = A2
  
  
• размеры групп — P1 и P2 (P1 + P2 = 1)
  
  
• группа 1 больше, чем группа 2
  
  

Тогда:

• общее среднее находится между A1 и A2;
  
  
• оно ближе к A1, потому что группа 1 больше;
  
  
• расстояния от общего среднего до A1 и A2 относятся как P2 : P1.
  
  

Большая группа → меньшее расстояние
Меньшая группа → большее расстояние

Пример (из первой части, но решён новым способом)

На пароме:

• 50 автомобилей со средней массой 1200 кг
  
  
• 10 грузовиков со средней массой 3000 кг
  
  

Найти среднюю массу всех транспортных средств.

Шаг 1. Найдём отношение размеров групп

Автомобили : грузовики = 50 : 10 = 5 : 1

Значит:

• автомобили — 5 частей
  
  
• грузовики — 1 часть
  
  
• всего — 6 частей
  
  

Шаг 2. Посмотрим на расстояние между средними

3000 − 1200 = 1800

Это общее расстояние между средними двух групп.

Шаг 3. Разобьём расстояние на части

Всего 6 частей →
1 часть = 1800 / 6 = 300

Шаг 4. Найдём положение общего среднего

• автомобили (большая группа) → 1 часть от общего среднего
  
  
• грузовики (меньшая группа) → 5 частей
  
  

Начнём с автомобилей:

• 1200 + 300 = 1500
  
  

Или с грузовиков:

• 3000 − (5 × 300) = 1500
  
  

Ответ: 1500 кг

Продвинутая задача (без абсолютных значений)

В компании Didymus Corporation есть две категории сотрудников:

• silver
  
  
• gold
  
  

Известно:

• средняя зарплата gold на 56 000 выше средней зарплаты silver;
  
  
• количество сотрудников:
  
  
  • silver — 120
    
    
  • gold — 160
    
    

Вопрос:
на сколько средняя зарплата по всей компании выше средней зарплаты silver?

Обрати внимание:

• абсолютные значения зарплат неизвестны;
  
  
• даны только разница средних и размеры групп.
  
  

Шаг 1. Отношение размеров групп

120 : 160
Делим на 40:

3 : 4

Значит:

• silver — 3 части
  
  
• gold — 4 части
  
  
• всего — 7 частей
  
  

Шаг 2. Работа с расстояниями

На числовой прямой:

• расстояние от silver до gold = 56 000
  
  
• это 7 частей
  
  

1 часть = 56 000 / 7 = 8 000

Шаг 3. Найдём нужное расстояние

Общее среднее находится:

• на 4 части выше silver
  
  
• и на 3 части ниже gold
  
  

Искомое расстояние:

• 4 × 8 000 = 32 000
  
  

Ответ

Средняя зарплата по компании на 32 000 выше средней зарплаты сотрудников silver.

Ключевое правило продвинутого метода

Если есть ровно две группы, то:

• расстояния от общего среднего до средних групп
  
  
• относятся как обратное отношение размеров групп
  
  

Формально:

• если размеры групп относятся как a : b
  
  
• то расстояния относятся как b : a
  
  

Итоговые выводы

• Продвинутый метод применим только для двух групп
  
  
• Он особенно полезен, когда:
  
  
  • не даны абсолютные средние;
    
    
  • дана только разница между средними;
    
    
  • даны размеры групп
    
    
• Метод основан на пропорциях расстояний, а не на суммах
  
  
• Это времясберегающий трюк, а не обязательная техника
  
  

Для большинства задач GMAT достаточно методов из Weighted Averages I,
но этот подход даёт серьёзное преимущество на сложных вопросах.

Следующий вопрос который мы должны изучить это размах и стандартное отклонение.