Система уравнений: количество решений

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В предыдущих уроках мы говорили, что система из двух уравнений с двумя неизвестными обычно имеет одно единственное решение. Теперь важно уточнить: возможны три разных случая.

Три возможных случая

1. Одно уникальное решение

    

2. Бесконечно много решений

    

3. Нет решений

    

Все три случая регулярно встречаются на GMAT, и экзамен ожидает, что вы умеете их распознавать по ходу решения, а не просто механически решать систему.

Случай 1. Одно уникальное решение (кратко)

Этот случай мы уже подробно разобрали:

• решаем систему подстановкой или исключением

   

• получаем конкретные значения x и y

   

Геометрическая интерпретация

Две прямые пересекаются в одной точке.
Это самый частый случай.

Случай 2. Бесконечно много решений

Рассмотрим систему (условно):

• 2x — y = 5

   

• 4x — 2y = 10

   

Шаг 1. Решаем стандартно

Из первого уравнения удобно выразить y:

• y = 2x — 5

   

Подставляем во второе:

• 4x — 2(2x — 5) = 10

   

• 4x — 4x + 10 = 10

   

Получаем:

• 10 = 10

   

Как интерпретировать результат

Важно: не делайте вывод, что вы ошиблись.

Все шаги корректны, но мы пришли к уравнению, которое:

• всегда истинно

   

• не зависит от значений x и y

   

Это означает:

• исходная система истинна при любых значениях x и y

   

• решений бесконечно много

   

Почему так произошло

Посмотрим на исходные уравнения внимательнее.
Если умножить первое уравнение на 2, мы получим второе:

• 2(2x — y = 5) → 4x — 2y = 10

   

То есть:

• второе уравнение — это просто кратная версия первого

   

Фактически перед нами одно и то же уравнение, записанное дважды.

Геометрическая интерпретация

Это одна и та же прямая, наложенная сама на себя.

Вопрос, который мы задаем системе:

где прямая пересекает саму себя?

Ответ:

• в бесконечном количестве точек

   

Экзаменационный признак

Если при решении:

• все переменные исчезают

   

• остается тождество вида
  -10 = -10
  7 = 7

   

→ система имеет бесконечно много решений.

Случай 3. Нет решений

Рассмотрим другую систему:

• x — 2y = 5

   

• 3x — 6y = 8

   

Шаг 1. Подстановка

Из первого уравнения:

• x = 2y + 5

   

Подставляем во второе:

• 3(2y + 5) — 6y = 8

   

• 6y + 15 — 6y = 8

   

Получаем:

• 15 = 8

   

Как интерпретировать результат

Мы получили уравнение, которое:

• никогда не бывает истинным

   

• является логическим противоречием

   

Это означает:

• не существует ни одной пары (x, y), при которой система верна

   

• система не имеет решений

   

Почему так произошло

Умножим первое уравнение на 3:

• 3x — 6y = 15

   

Но второе уравнение говорит:

• 3x — 6y = 8

   

Получается, что:

• одно и то же выражение равно двум разным числам одновременно

   

• это невозможно

   

Геометрическая интерпретация

Это две параллельные прямые:

• одинаковый наклон

   

• разные точки пересечения с осью

   

Вопрос:

где пересекаются параллельные прямые?

Ответ:

• нигде

   

Экзаменационный признак

Если при решении:

• все переменные исчезают

   

• остается противоречие вида
  15 = 8
  -2 = 9

   

→ система не имеет решений.

Итоговая схема (обязательно для GMAT)

Результат решения	Интерпретация
Конкретные x и y	Одно решение
Тождество (12 = 12)	Бесконечно много решений
Противоречие (2 = 7)	Нет решений

Ключевые выводы

• Система из двух уравнений с двумя неизвестными может иметь:

   

  • одно решение

     

  • бесконечно много решений

     

  • ни одного решения

     

• Всегда доводите алгебру до конца

   

• Не пугайтесь, если переменные исчезли — это важный сигнал

   

• GMAT часто проверяет умение интерпретировать результат, а не просто решать

   

Этот раздел завершает базовую логику систем линейных уравнений. Далее эти идеи будут использоваться в более сложных задачах Quant.