Ментальная арифметика: сложение и вычитание

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

На GMAT Quant нет калькулятора, поэтому умение быстро и уверенно считать в уме — это не «бонус», а обязательный навык.
Чем лучше развита ментальная арифметика, тем:

• быстрее вы решаете задачи,

   

• меньше допускаете глупых ошибок,

   

• выше ваша уверенность на экзамене.

   

Цель этого раздела — показать, что любые двузначные числа можно складывать и вычитать в уме, без «столбиков» и без напряжения.

Базовый принцип ментальной арифметики

Любое двузначное число можно представить как:

ab = 10a + b

Примеры:

37 = 30 + 7

81 = 80 + 1

53 = 50 + 3

Это не просто «интересный факт» — это ключевой инструмент.

Ментальное сложение двузначных чисел

Метод: складываем десятки и единицы отдельно

Пример

47 + 36

Разбиваем:

47 = 40 + 7

36 = 30 + 6

Складываем по частям:

40 + 30 = 70

7 + 6 = 13

Финальный шаг:

70 + 13 = 83

👉 Всё решено в голове, без записи.

Универсальная схема сложения

(10a + b) + (10c + d)

= 10(a + c) + (b + d)

Ментальное вычитание: простой случай

Если каждая цифра уменьшаемого больше, чем соответствующая цифра вычитаемого — вычитание делаем по частям.

Пример

59 − 31

Разбиваем:

50 − 30 = 20

9 − 1 = 8

Ответ:

28

Когда этот метод работает

ab − cd

если a ≥ c и b ≥ d

Сложный, но частый случай: «занимать» не хочется

Пример

56 − 19

Классическое «занимание» — плохой вариант для ментальной арифметики.

Вместо этого используем ключевую идею.

Ключевой приём: добавляем одно и то же число к обоим

Разность не меняется, если прибавить одно и то же число к обоим слагаемым:

a − b = (a + k) − (b + k)

Почему это работает?

Потому что:

(a + k) − (b + k) = a − b

Мы фактически прибавляем и вычитаем одно и то же число → результат не меняется.

Пример 1

56 − 19

19 почти равно 20 → добавим 1:

(56 + 1) − (19 + 1) = 57 − 20

Теперь:

57 − 20 = 37

Пример 2

71 − 26

26 почти равно 30 → добавим 4:

(71 + 4) − (26 + 4) = 75 − 30

Ответ:

45

Когда использовать этот приём

Используйте его, если:

• у вычитаемого большая цифра в разряде единиц

   

• число близко к круглому десятку

   

📌 Это один из самых полезных приёмов на GMAT.

Формулы и приёмы (готовый блок для вставки)

Разложение числа

ab = 10a + b

Сложение

(10a + b) + (10c + d) = 10(a + c) + (b + d)

Простое вычитание

ab − cd = (10a − 10c) + (b − d)

если a ≥ c и b ≥ d

Сдвиг для удобства вычитания

a − b = (a + k) − (b + k)

(выбираем k так, чтобы b + k стало кратно 10)

Типичные ошибки учеников

❌ Пытаться считать «столбиком» в голове
❌ Сразу идти в алгебру, когда можно упростить
❌ Бояться прибавлять к обоим числам
❌ Медлить из-за отсутствия уверенности

Краткое резюме

• GMAT Quant = ментальная арифметика

   

• все двузначные числа считаются в голове

   

• складываем и вычитаем по частям

   

• если неудобно — сдвигаем оба числа

   

• тренировка этих приёмов экономит десятки секунд на секции

Повторите предыдущие уроки по свойствам действительных чисел и про положительные и отрицательные числа.