Четные и нечетные целые числа

Эта тема является частью раздела целочисленных свойств в Quant GMAT Focus.

Вопросы про четные и нечетные числа — одни из самых любимых на экзамене GMAT.
Формулировки вида:

• «Известно ли, что k — четное?»
  
  
• «Можно ли утверждать, что k — нечетное?»
  
  

встречаются очень часто. Эта глава и следующая посвящены системному разбору таких задач.

Базовые определения

Четные числа

Четные числа — это все целые числа, которые делятся на 2 без остатка:
…, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …

Ключевые факты:

• 0 — четное число
  Это важно: 0 не является ни положительным, ни отрицательным, но он четный. Экзамен любит проверять это.
  
  
• Четные числа могут быть положительными и отрицательными.
  
  
• Любое четное число можно записать в виде 2k, где k — целое число.
  
  
• Разложение на простые множители любого положительного четного числа больше 2 обязательно содержит множитель 2.
  
  

Нечетные числа

Нечетные числа — это:
…, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …

Ключевые факты:

• Нечетные числа также бывают положительными и отрицательными.
  
  
• Ни одно нечетное число не делится на 2.
  
  
• Обобщенная форма нечетного числа:
  
  
  • 2k + 1
    
    
  • 2k − 1
    где k — целое число.
    
    
• В разложении на простые множители любого нечетного числа нет множителя 2.
  
  

Важное ограничение

Понятия «четное» и «нечетное» применимы только к целым числам.

Если в условии сказано, что x — четное или y — нечетное, это гарантирует, что:

• x и y — целые числа
  
  

Если число не целое, оно не является ни четным, ни нечетным.

Сложение и вычитание четных и нечетных чисел

Правила:

• четное ± четное = четное
  
  
• нечетное ± нечетное = четное
  
  
• четное ± нечетное = нечетное
  
  

Обобщение:

• при сложении или вычитании одинаковых типов (два четных или два нечетных) результат четный
  
  
• при смешивании (четное и нечетное) результат нечетный
  
  

Умножение четных и нечетных чисел

Правила:

• четное × четное = четное
  
  
• четное × нечетное = четное
  
  
• нечетное × нечетное = нечетное
  
  

Логика через простые множители

• если хотя бы один множитель содержит 2, произведение будет четным
  
  
• только если все множители нечетные, произведение будет нечетным
  
  

Ключевой вывод:

• произведение нечетно ⇔ каждый множитель нечетный
  
  
• произведение четно ⇔ хотя бы один множитель четный
  
  

Произведение нескольких чисел

Если произведение четное

Например, произведение пяти целых чисел — четное.

Мы можем утверждать только одно:

• хотя бы одно из чисел — четное
  
  

Про конкретное число (например, C) нельзя сделать вывод:

• оно может быть четным
  
  
• может быть нечетным
  
  

Информации недостаточно.

Если произведение нечетное

Если произведение пяти целых чисел — нечетное, то:

• каждое из этих чисел — нечетное
  
  

Здесь вывод однозначный и очень сильный.

Деление и четность

Для деления нет универсальных правил, как для сложения или умножения.

Причина:

• целое число, деленное на целое, часто не дает целое число
  
  

Общие закономерности:

• четное ÷ четное → может быть четным, нечетным или нецелым
  
  
• нечетное ÷ нечетное → может быть нечетным или нецелым
  
  
• четное ÷ нечетное → может быть четным или нецелым
  
  
• нечетное ÷ четное → никогда не целое число
  (множитель 2 в знаменателе не может сократиться)
  
  

Экзаменационный пример 1 (GMAT-style)

Условие:
P, Q, R и S — целые числа.
P — четное.
P×Q + R×S — нечетное число.

Что должно быть верно?

Шаг 1. Анализируем P×Q

• P — четное
  
  
• значит, P×Q — четное, независимо от Q
  
  

Шаг 2. Анализируем сумму

Чтобы сумма была нечетной:

• четное + нечетное = нечетное
  
  

Следовательно:

• R×S — нечетное
  
  

Шаг 3. Анализируем произведение

Произведение двух целых чисел нечетно только если оба нечетные.

Вывод:

• R — нечетное
  
  
• S — нечетное
  
  
• про Q ничего утверждать нельзя
  
  

Экзаменационный пример 2 (ловушка)

Условие:
P — нечетное целое число.
P в квадрате + Q×R — четное число.

Шаг 1. Анализируем P в квадрате

• нечетное × нечетное = нечетное
  
  
• P в квадрате — нечетное
  
  

Шаг 2. Анализируем сумму

Чтобы сумма была четной:

• Q×R должно быть нечетным
  
  

Критическая ловушка

Из того, что произведение Q×R — нечетное, нельзя сделать вывод, что:

• Q и R — целые числа
  
  
• Q и R — нечетные
  
  

Пример:

• 7/3 × 33/7 = 11
  Произведение — нечетное целое число, но оба множителя не являются целыми.
  
  

Вывод:

Нельзя сделать никаких обязательных выводов о Q и R.

Ключевая стратегия GMAT

Никогда не предполагайте, что переменные — целые числа, если это не сказано явно.

Это:

• одна из самых частых ловушек
  
  
• ключевая стратегия в задачах на свойства чисел
  
  

Итоги

В этой главе мы разобрали:

• определения четных и нечетных целых чисел
  
  
• важный факт: 0 — четное число
  
  
• правила сложения и вычитания
  
  
• правила умножения и сильные логические выводы
  
  
• отсутствие универсальных правил для деления
  
  
• экзаменационные ловушки, связанные с неявными предположениями
  
  

Понимание четности и нечетности — фундамент для задач GMAT на алгебру, делимость и логические выводы. Далее изучим как проверять случаи четных и нечетных чисел.