Построение графиков прямых

Эта тема является частью раздела о координатной плоскости в Quant GMAT Focus.

Теперь перейдём к теме построения графиков прямых. Вероятно, вы помните ещё со школы, что значительная часть работы с координатной плоскостью связана с:

• построением прямых,

   

• нахождением уравнений прямых,

   

• построением графика по заданному уравнению и наоборот.

   

Например, в задаче может быть:

• изображена прямая, и требуется найти её уравнение;

   

• задано уравнение, и требуется построить соответствующую прямую.

   

В этом уроке мы начнём с самых базовых идей. Это будет концептуальное введение в тему, без углубления в технические приёмы. Прежде чем переходить к механике построения графиков, нужно понять несколько фундаментальных принципов.

Большая идея №1: у каждой прямой есть своё уравнение

Каждая возможная прямая на XY-плоскости имеет собственное уникальное уравнение.

Можно сказать, что существует взаимно-однозначное соответствие:

• одной прямой соответствует ровно одно уравнение,

   

• одному уравнению соответствует ровно одна прямая.

   

Это ключевая идея, на которой строится вся координатная геометрия.

Большая идея №2: все точки прямой удовлетворяют её уравнению

Для любой заданной прямой каждая точка, лежащая на этой прямой:

• имеет координаты x и y,

   

• которые удовлетворяют уравнению этой прямой.

   

Это очень глубокая идея, которую часто недооценивают.

На любой прямой:

• существует бесконечное число точек,

   

• каждая из этих точек, без исключения, удовлетворяет уравнению прямой.

   

Мы можем:

• выбрать любую точку на прямой,

   

• взять её x-координату и y-координату,

   

• подставить их в уравнение,

   

• и уравнение обязательно будет верным.

   

Это фундаментальный факт для всех задач GMAT, связанных с графиками.

Большая идея №3: любое линейное уравнение задаёт прямую

Любое уравнение, в котором:

• x стоит в первой степени,

   

• y стоит в первой степени,

   

• нет произведений переменных друг на друга,

   

• нет деления на переменные,

   

• нет корней, степеней выше первой и других «необычных» операций,

   

обязательно является уравнением некоторой прямой на XY-плоскости.

Именно поэтому такие уравнения называются линейными.
Каждое линейное уравнение соответствует уникальной прямой на координатной плоскости.

Пример: нахождение точек по уравнению

Рассмотрим конкретное линейное уравнение. Пусть оно задано в условии задачи.

Мы можем находить точки на прямой, просто подставляя удобные значения переменных.

Шаг 1: подставим x = 0
Подставляя x = 0 в уравнение, получаем:

• y = 4

   

Следовательно, точка (0, 4) лежит на этой прямой.

Шаг 2: подставим y = 0
Подставляя y = 0, получаем:

• x = −3

   

Следовательно, точка (−3, 0) также лежит на этой прямой.

Построение прямой по двум точкам

Мы нашли две точки:

• (0, 4)

   

• (−3, 0)

   

Из геометрии известно:

• двух точек достаточно, чтобы однозначно задать прямую.

   

Если:

• отметить эти две точки на координатной плоскости,

   

• и провести через них прямую,

   

мы получим график заданного уравнения.

Важное замечание

Метод подстановки значений и нахождения отдельных точек:

• работает всегда,

   

• но не является самым эффективным способом построения прямых.

   

В следующих уроках этого модуля будут рассмотрены более быстрые и удобные методы. Однако прежде необходимо полностью понять базовую идею:
каждая точка на прямой удовлетворяет её уравнению.

Пример задачи уровня GMAT

Условие:
Дано уравнение прямой, содержащее параметр k. Известно, что прямая проходит через точку (2, 1). Найти значение k.

Решение:

• Поскольку точка лежит на прямой, её координаты должны удовлетворять уравнению.

   

• Подставляем x = 2 и y = 1 в уравнение.

   

• Получаем выражение:
  2k + 3k = 5k

   

• По условию это равно 17.

   

• Следовательно:
  5k = 17
  k = 17/5

   

Итоговые выводы

Для уверенной работы с графиками прямых на GMAT необходимо понимать:

• каждая прямая имеет уникальное уравнение;

   

• каждая точка на прямой обязательно удовлетворяет её уравнению;

   

• любое линейное уравнение задаёт некоторую прямую на XY-плоскости;

   

• график прямой можно построить, находя отдельные точки и соединяя их;

   

• в дальнейшем существуют более эффективные методы построения, которые будут изучены позже.

   

Эти идеи лежат в основе всех задач GMAT, связанных с линейными уравнениями и графиками.

Далее рассмотрим вертикальные и горизонтальные прямые.