Взвешенные средние — часть I

Эта тема является частью раздела о статистике в Quant GMAT Focus.

Теперь перейдём к взвешенным средним. В задачах этого типа GMAT и GRE часто просят найти общее среднее для двух или более различных групп.

Типичная ситуация выглядит так:

• есть несколько групп;
  
  
• для каждой группы известна своя средняя величина;
  
  
• требуется найти среднее по всем объектам вместе.
  
  

Что такое взвешенное среднее

Взвешенное среднее — это среднее, в котором вклад каждой группы зависит от её размера (или доли) в общей совокупности.

Важно помнить:

• нельзя просто складывать средние;
  
  
• нельзя усреднять средние напрямую;
  
  
• можно работать с суммами.
  
  

Именно работа через суммы — ключевой принцип большинства задач на средние, включая взвешенные.

Подход 1: через суммы (универсальный и самый надёжный)

Рассмотрим типичную экзаменационную задачу.

Пример

На пароме находятся:

• 50 автомобилей со средней массой 1200 кг
  
  
• 10 грузовиков со средней массой 3000 кг
  
  

Найдите среднюю массу всех транспортных средств.

Здесь:

• есть две разные группы;
  
  
• для каждой известны количество и среднее;
  
  
• требуется общее среднее.
  
  

Шаг 1. Используем ключевую формулу

Сумма = количество × среднее

Чтобы упростить вычисления, все массы разделим на 1000:

• 1200 → 1.2
  
  
• 3000 → 3
  
  

Шаг 2. Найдём сумму по каждой группе

Автомобили:
50 × 1.2 = 60

Грузовики:
10 × 3 = 30

Шаг 3. Найдём общую сумму

60 + 30 = 90

Всего транспортных средств:
50 + 10 = 60

Шаг 4. Найдём общее среднее

90 / 60 = 3/2 = 1.5

Возвращаем масштаб (умножаем на 1000):

Средняя масса = 1500 кг

Проверка здравого смысла (очень важно на GMAT)

• Общее среднее обязательно должно находиться между 1200 и 3000
  
  
• Значение 1500 ближе к 1200, потому что автомобилей больше, чем грузовиков
  
  

Если полученное среднее:

• не лежит между средними групп → почти наверняка ошибка.
  
  

Почему нельзя «усреднять средние»

Например, взять (1200 + 3000) / 2 = 2100 — ошибка, потому что:

• группы имеют разные размеры;
  
  
• вклад каждой группы должен быть пропорционален её численности.
  
  

Подход 2: через пропорции (когда даны проценты)

Иногда в задаче не дают количества, а разбивают группы по процентам или долям.

В этом случае используется другой, но эквивалентный подход.

Общая идея

Пусть:

• A1, A2, A3 — средние значений в группах
  
  
• p1, p2, p3 — доли (пропорции) этих групп
  
  

Тогда:

• p1 + p2 + p3 = 1
  
  

Общее среднее = A1 × p1 + A2 × p2 + A3 × p3

Если даны проценты — их обязательно переводим в десятичные дроби.

Пример с процентами

В компании:

• 70% — маркетологи со средней зарплатой 40 000
  
  
• 20% — программисты со средней зарплатой 80 000
  
  
• 10% — менеджеры со средней зарплатой 120 000
  
  

Найдите среднюю зарплату по компании.

Шаг 1. Переведём проценты в пропорции

• 70% → 0.7
  
  
• 20% → 0.2
  
  
• 10% → 0.1
  
  

Шаг 2. Упростим числа

Чтобы не работать с лишними нулями:

• 40 000 → 40
  
  
• 80 000 → 80
  
  
• 120 000 → 120
  
  

(в конце вернём масштаб)

Шаг 3. Умножим средние на пропорции

• 0.7 × 40 = 28
  
  
• 0.2 × 80 = 16
  
  
• 0.1 × 120 = 12
  
  

Шаг 4. Найдём сумму

28 + 16 + 12 = 56

Возвращаем масштаб:

Средняя зарплата = 56 000

Итоговые выводы

• Взвешенное среднее учитывает размер каждой группы
  
  
• Средние нельзя складывать или усреднять напрямую
  
  
• Универсальный подход:
  
  
  • найти сумму каждой группы;
    
    
  • сложить суммы;
    
    
  • разделить на общее количество
    
    
• Если даны проценты или доли:
  
  
  • переводим проценты в десятичные дроби;
    
    
  • умножаем среднее каждой группы на её долю;
    
    
  • складываем результаты
    
    
• Общее среднее всегда лежит между средними групп
  
  

Это базовая модель, которая будет расширяться и активно использоваться в следующих задачах на GMAT Quant.

Следующий урок дополнительная информация о взвешенных средних.