GMAT Quantitative Reasoning: разбор задачи с нестандартной операцией

Условие задачи

Для любых чисел x и y операция φ определена следующим образом:

x φ y = (x + y)(x − y) + (y − x)(y + x) + xy

Нужно найти значение:

√12 φ √3

Шаг 1. Упростим выражение

Рассмотрим первые два произведения:

(x + y)(x − y)

(y − x)(y + x)

Заметим важное свойство:

y − x = −(x − y)

При этом:

y + x = x + y

Следовательно:

(y − x)(y + x) = −(x − y)(x + y)

То есть второе произведение — это просто противоположное значение первого.

Тогда:

(x + y)(x − y) + (y − x)(y + x) = 0

Эти два выражения взаимно сокращаются.

В результате операция упрощается:

x φ y = xy

Шаг 2. Подставим значения

Теперь вычисление становится простым:

√12 φ √3 = √12 × √3

Используем свойство корней:

√a × √b = √(ab)

Получаем:

√12 × √3 = √36 = 6

Ответ

6

Почему это типичная GMAT-задача

Такие задачи проверяют не вычислительные навыки, а умение быстро увидеть структуру выражения.

Распространённая ошибка — сразу начинать вычислять.
Но более эффективная стратегия на GMAT:

1. Сначала упростить алгебру

2. Найти скрытую структуру

3. Затем выполнить вычисления

В этой задаче ключевая идея:

• первые два произведения взаимно уничтожаются

• операция φ на самом деле равна обычному умножению

• после упрощения решение занимает несколько секунд

Краткое решение

x φ y = (x + y)(x − y) + (y − x)(y + x) + xy

Поскольку

(y − x)(y + x) = −(x − y)(x + y)

первые два члена сокращаются.

Следовательно:

x φ y = xy

Тогда:

√12 φ √3 = √12 × √3 = √36 = 6

Правильный ответ: 6